哥德尔不完备定理

前几天和别人讨论电影《牛津杀手》，想起当中的片头说到的一本书叫做《逻辑哲学论》。作者维特根斯坦在 第一次世界大战时期是一名普通的士兵。在战场上，别人都开始撤退了，可是他却无动于衷埋头记笔记，不管身边有多少炮弹在爆炸。他写成的这本书就是《逻辑哲 学论》。不过今天不打算说这本书，今天打算说的是书里提到的以及我最近认为的一个很重要的事，所谓的“哥德尔不完备定理”。

哥德尔不完备定理是哥德尔证明了的一个定理。全文叙述如下：

任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。

解释一下。所谓相容的，指的是这个系统中的所有定理都是相互协调的，没有矛盾的；所谓皮亚诺算术公理，指的是自然数法则，1是最小的自然数，相邻的 自然数相差1，很简单吧。那么，这个定理就可以这样理解：在一个本身没有逻辑矛盾的理论体系内，如果可以运用自然数法则的话，那么其中必然有某些命题，是 永远也无法证明或者证伪的，也就是永远也没办法知道对错的。

这个定理太重要了。直接让伟大数学家希尔伯特的一个计划流产了。更为重要的是，他创立了一本新的学科，叫做元数学。元数学，即利用数学知识来研究数学这门学科本身。

要证明这个定理倒也不难，最近几天我也想到了一种方法，可能不是非常严格，但是足够说明问题了。首先我们引入一种叫做哥德尔数的概念。其实很简单，就是把人类的语言系统进行符号化，所有的语言文字、符号、变量，都指定一个唯一的自然数作为标志。比如：

• x指定为1；
• 平方指定为2；
• =指定为3；
• 乘号，指定为4
• ……

还可以指定下去，怎么规定完全随你的喜欢。好了，现在我如果想写一个方程：x的平方=x乘以x，就可以用指定符号代替，写作：1，2，3，1，4，1。一共6个数，来表示本来的方程的6个符号。

现在我们从2开始取6个质数，分别是2，3，5，7，11，13.然后构造一个新的数字Q。定 义：Q=2^1*3^2*5^3*7^1*11^4*13^1。每一项都是质数的指数形式，其中底数是质数序列，他们对应的指数就是方面翻译了的那个方 程。这样得到一个Q是2997744750。根据质数公理，我们可以在已知2997744750这一个数的情况下，还原回原来的1，2，3，1，4，1这 一组数字，从而查表得到对应的方程。而且，还原的结果是唯一的，因为质因数的分解是唯一的，而不论Q有多大。（在MATLAB中这个工作靠函数 factor完成。）这样一来，我们就可以把所有的命题和语言，唯一地转化为一个数字，并且能够唯一地还原回去。

因此，假如我们构造这样一个命题F（x）=0，然后可以把这个命题变成它的哥德尔数G，再把G当作自变量带入，得到F（G）=0。好了，想起什么 了？对了，理发师悖论。再通过利用理发师悖论，就可以得到哥德尔不完备定理了。简单地说，就是假如我们构造一个命题A=“这个命题不能被证明或者证伪”， 然后去证明这个命题A，无论命题A是否被证明，其结论都是哥德尔不完备定理。

最后一个问题，语言可以容纳自然数法则么？如果可以的话，辩论就失去了意义。因为一定有这样的观点存在，它永远无法被证明是对的或者错的。